関数$y=f(x)$の$x=a$における$n$次近似式は，
  $f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
で与えられます。
関数を固定し，近似の次数を上げていくと，近似の精度がよくなり，赤い線の近似のグラフが黒い線の関数のグラフと重なる部分が増えていくのが見てとれます。
また，点Pと離れたところでは，近似の次数を上げても赤い線が黒い線に近づかない部分もあることがわかります。これは収束半径に関係があります。
曲線上で点Pを動かすと近似式のグラフは実に複雑な動きをすることが観察できます。

関数$f(x)$の$n$次近似式$P_n(x)$のグラフについて，$n$の値を大きくしたとき，関数$f(x)$のグラフに近づく様子を観察します。
5つの関数$f(x)$，$y=\dfrac{1}{1-x}$, $y=\dfrac{2}{2-x}$, $y=\dfrac{3}{3-x}$, $y=\sin x$, $y=\cos x$について考えます。
これらの関数の$n$次近似式はそれぞれ以下のようになります。
ただし，（　）内の$x$の値の範囲で，$n\to\infty$のとき$n$次近似式$P_n(x)$が関数$f(x)$に収束します。
  $\dfrac{1}{1-x}\fallingdotseq 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n$       （$|x|<1$）
  $\dfrac{2}{2-x}\fallingdotseq 1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{8}x^3+\cdots+\dfrac{1}{2^n}x^n$   （$|x|<2$）
  $\dfrac{3}{3-x}\fallingdotseq 1+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{1}{27}x^3+\cdots+\dfrac{1}{3^n}x^n$  （$|x|<3$）
  $\sin x\fallingdotseq x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ （$x$は任意の実数）
  $\cos x\fallingdotseq 1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$   （$x$は任意の実数）
最初の3つの$n$次近似式は，$n$がどんなに大きくなっても（　）内の$x$の値の範囲外では関数$f(x)$に近づきませんが，最後の2つの$n$次近似式は，$n$が十分に大きくなれば，任意の実数で関数$f(x)$に近づきます。

鞍点はsaddle pointという言葉から来ていて，saddle（サドル）は馬の鞍を表します。新微分積分Ⅱ改訂版p.49で扱っている関数$z=x^2-y^2$について，関数を実際動かして鞍点を観察することができます。

１のコンテンツで，3点A$(a_x,a_y)$, B$(b_x,b_y)$, C$(c_x,c_y)$を頂点とする三角形の重心は，
  $\left(\dfrac{a_x+b_x+c_x}{3},\dfrac{a_y+b_y+c_y}{3}\right)$
で与えられます。点A, B, Cを動かすと，それにつれて重心Gも変化します。
２や３のコンテンツで，$xy$平面上の図形$D$の重心は，
  $\left(\dfrac{\displaystyle\iint_D x\,dxdy}{\displaystyle\iint_{D}\,dxdy}, \dfrac{\displaystyle\iint_{D}y\,dxdy}{\displaystyle\iint_{D}\,dxdy}\right)$
で与えられます。さらに$D$が$x$軸と2点$(a,0)$, $(b,0)$ ($a < b$)で交わり，区間 $a < x < b$ で $f(x) >0$ である曲線 $y=f(x)$ と，$x$軸で囲まれた図形の場合は，
  $\displaystyle\iint_D \,dxdy=\int_a^b \left\{\int_0^{f(x)} \,dy\right\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$
  $\displaystyle\iint_D x\,dxdy=\int_a^b \left\{\int_0^{f(x)} x\,dy\right\}\,dx=\int_a^b xf(x)\,dx$
  $\displaystyle\iint_D y\,dxdy=\int_a^b \left\{\int_0^{f(x)} y\,dy\right\}\,dx=\int_a^b \frac{1}{2}\{f(x)\}^2\,dx$
となります。
３のコンテンツでは，重心Gは頂点Cのみに依存し，$x$軸との交点Bの位置には関係しないことが見てとれます。

斉次微分方程式のコンテンツでは，解曲線の形が微分方程式の係数$a$，$b$や初期値$c$，$d$に応じて連続的に変化していく様子を観察できます。特性方程式の判別式$D=a^2-4b$の値も解曲線の下側に表示しました。
特に，$D<0$となるように$a$，$b$の値を選んだとき，解曲線は$e^{-\frac{at}{2}}$と正弦関数の積のグラフとなります。そのため，$a<-1$のときは，グラフが画面からはみ出すほど大きく波打ちます。$|a|<1$程度の方が観察はしやすいです。
$D \geqq 0$のときは，解曲線は指数関数の線形結合または指数関数と$1$次関数の積となるため，グラフは$D<0$のときのようには波打ちません。
一方，非斉次微分方程式のコンテンツは，解曲線の形が微分方程式の係数$a$，$b$，$c$や初期値$d$に応じて連続的に変化していく様子を観察できます。上の斉次微分方程式が補助方程式であるため，その特性方程式の判別式$D$の符号に応じた解曲線の形の特徴は，大まかには一致します。
ただし，微分方程式の右辺が$c\sin t$であるため，$D \geqq 0$のときでもグラフの形は多少変化に富むようになります。

地上からの高さが $C\rm{[m]}$ のところから，ボールを斜め上の方向に投げます。ボールに働く力は重力だけとして，重力加速度を $g=9.8\rm{[m/s^2]}$，ボールの水平方向の初速度を $A\rm{[m/s]}$，鉛直方向の初速度を$B\rm{[m/s]}$ とします。ただし，$A,B,C$は正の定数とします。
時刻 $t\rm{[s]}$ のときの，ボールの位置を$(x(t),y(t))$とすると $x(t),y(t)$の満たす微分方程式は次のように表されます。
  $\displaystyle{\frac{d^2x}{dt^2}=0,\ \frac{dx}{dt}(0)=A,\ x(0)=0}$
  $\displaystyle{\frac{d^2y}{dt^2}=-9.8,\ \frac{dy}{dt}(0)=B,\ y(0)=C}$
「ボールの投げ上げ」では，この微分方程式の解 $(x(t),y(t))=(At, -4.9t^2+Bt+C)$ のグラフを確認します。

新微分積分Ⅱ改訂版p.152問2では，円錐と円柱の共通部分の体積について考えます。このコンテンツでは，円錐と円柱が重なってできる立体を実際に動かして観察することができます。

新微分積分Ⅱ改訂版p.152例題2では，半球の内部にある円柱の体積について考えます。このコンテンツでは，半球と円柱が重なってできる立体を実際に動かして観察することができます。