定義：
円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度
＝単位円（半径１の円）で，長さが１の弧に対する中心角
-
単位記号を書かない単位
-
rad は，半径という意味のラテン語 radius に由来する単位で，高校以降で登場しますが，あまり rad の記号を目にすることはありません。
半径 $r$ の円に弧 $l$ があるとき，この弧に対応する中心角 $\theta$ を rad で求めてみます。
定義より，1 rad は，半径の長さと等しい長さの弧に対する中心角なので，$\theta$ = $\cfrac{l}{r}$ rad となります。
ここで，$l$ も $r$ も長さなので，分子と分母の単位が打ち消しあってなくなります。このため，記号を明示する必要がある場合をのぞいて，ふつう rad は省略して表記します。例えば，「角度が 90°」なら，「角度が $\cfrac{\pi}{2}$ rad」とはせず，単に「角度が $\cfrac{\pi}{2}$」と書きます。
-
rad と ° の関係
-
円周の長さは，直径×円周率で求められるので，半径 $r$ の円の円周 $l$ は，$2\pi r$ となります。定義から，これを半径の $r$ で割った $2\pi$ が，１周分の角度となります。
$2\pi \,\text{rad} = 360^{\circ}$いくつかの代表的な角度について rad の値を表にしました。
度
°0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 ラジアン
rad0 $\cfrac{\pi}{6}$ $\cfrac{\pi}{4}$ $\cfrac{\pi}{3}$ $\cfrac{\pi}{2}$ $\cfrac{2\pi}{3}$ $\cfrac{3\pi}{4}$ $\cfrac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\cfrac{3\pi}{2}$ $2\pi$ 度〔°〕 ラジアン〔rad〕 0 0 30 $\cfrac{\pi}{6}$ 45 $\cfrac{\pi}{4}$ 60 $\cfrac{\pi}{3}$ 90 $\cfrac{\pi}{2}$ 120 $\cfrac{2\pi}{3}$ 135 $\cfrac{3\pi}{4}$ 150 $\cfrac{5\pi}{6}$ 180 $\pi$ 270 $\cfrac{3\pi}{2}$ 360 $2\pi$ このように rad は，ふつう $\pi$ を無理に計算せずに分数の形のままで扱います。
-
rad を使う利点
-
rad による角度の表記は，弧の長さによって角度を示すことから弧度法といいます。これに対して，小学校から親しんで来た１周を 360° とする単位は，度数法といいます。
弧度法と度数法をいくつかの場面で比較してみます。
①おうぎ形の弧の長さ
半径 $r$，中心角 $\theta$ のおうぎ形の弧の長さ $l$ を求めてみましょう。
おうぎ形の弧の長さは，円周の長さに $\cfrac{\text{中心角}}{１周分の角} $ をかけて求められます。$$ \begin{align} \text{度数法：} l &= 2 \pi r \times \frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\\ &= \frac{\pi r \theta}{180}\\ \text{弧度法：} l &= 2 \pi r \times \frac{\theta}{2\pi}\\ &= r \theta\\ \end{align} $$②おうぎ形の面積
今度は，面積 $S$ を求めてみましょう。
おうぎ形の面積は，円の面積に $\cfrac{\text{中心角}}{１周分の角} $ をかけて求められます。$$ \begin{align} \text{度数法：} S &= \pi r^2 \times \frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\\ &= \frac{\pi r^2 \theta}{360}\\ \text{弧度法：} S &= \pi r^2 \times \frac{\theta}{2 \pi}\\ &= \frac{r^2 \theta}{2}\\ \end{align} $$弧度法を使うと，おうぎ形についての公式がかなりスッキリしますね。
③三角関数
rad が威力を発揮するのは，高校で学習する三角関数（$\sin \theta$，$\cos \theta$，$\tan \theta$）を使った計算をするときです。
高校の数学では，関数の極限を求めたり，微分・積分という計算をしたりします。なかでも，三角関数の極限を考えるときには，$\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ という形が鍵になります。
さらに，三角関数を微分するときは，$\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ の極限（$\displaystyle \lim_{\theta \to 0 }\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ の値)を使った計算が必要になります。
（詳しい計算は高校数学の学習に任せることにして…）
三角関数の極限と微分の計算に使う重要な公式を，それぞれ度数法と弧度法で表すと，次のようになります。$$ \begin{alignat}{2} \text{度数法 } && \text{極限：}&& \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} &= \frac{\pi}{180}\\ && \text{微分：}&& (\sin \theta)' &= \frac{\pi}{180} \cos \theta\\ &&&& (\cos \theta)' &= - \frac{\pi}{180} \sin \theta\\ \text{弧度法 } && \text{極限：}&& \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} &= 1\\ && \text{微分：}&& (\sin \theta)' &= \cos \theta\\ &&&& (\cos \theta)' &= - \sin \theta\\ \end{alignat} $$弧度法の公式の方が，余計な係数がなくスッキリしていて，使いやすそうですね。
-
1 rad ってどのくらい？
-
春分・秋分の日の長崎市（と熊本市）における太陽の南中高度が，約 1 rad です。
春分・秋分では，赤道において太陽が天頂を通過する（南中高度が 90° ＝ $\cfrac{\pi}{2}$ rad になる）ので，北緯 $\theta$ の地点における春分・秋分の日の南中高度は $\cfrac{\pi}{2} - \theta$ となります。
よって，南中高度が 1 rad となる緯度は，次のように求められます。
$$ \begin{align} \frac{\pi}{2} - \theta &= 1 \,\text{rad}\\ \theta &= \frac{\pi}{2} - 1 \,\text{rad}\\ \text{これを度}&\text{数法の角度に直すと}\\ \theta &= (\frac{\pi}{2} - 1 ) \times \frac{360^\circ}{2\pi}\\ &= 32.7042\ldots^\circ\\ \end{align} $$
北緯 32.7° の地点を日本地図から探すと，長崎市が近そうです。
国立天文台の各地のこよみで調べてみると，長崎の緯度は 32.7500°，春分・秋分の日の南中高度はいずれも 57.3° とあります。これを rad に直すと，次のようになります。
$$ \begin{align} 2 \pi : x &= 360^\circ : 57.3^\circ\\ x &= \frac{2 \pi \times 57.3^\circ}{360^\circ}\\ &= 1.000073661\ldots \,\text{rad}\\ \end{align} $$天文台のデータから，ほかの都市で南中高度が 約 1 rad となる日にちを調べると，次のようになりました。
南中高度が 1 rad となる日（2019年秋）
都市 日 時刻 南中高度 札幌（北海道） 8月27日 11:36 57.1° 根室（北海道） 8月26日 11:20 57.2° 青森（青森県） 9月2日 11:37 57.3° 秋田（秋田県） 9月5日 11:38 57.3° 盛岡（岩手県） 9月5日 11:34 57.3° 仙台（宮城県） 9月9日 11:34 57.2° 山形（山形県） 9月9日 11:36 57.2° 福島（福島県） 9月10日 11:35 57.3° 水戸（茨城県） 9月14日 11:34 57.2° 宇都宮（栃木県） 9月13日 11:37 57.4° 前橋（群馬県） 9月14日 11:40 57.2° さいたま（埼玉県） 9月15日 11:37 57.3° 千葉（千葉県） 9月16日 11:35 57.2° 東京（東京都） 9月16日 11:36 57.1° 横浜（神奈川県） 9月16日 11:36 57.4° 小笠原（東京都） 10月8日 11:19 57.2° 新潟（新潟県） 9月10日 11:41 57.2° 富山（富山県） 9月13日 11:47 57.3° 金沢（石川県） 9月13日 11:50 57.4° 福井（福井県） 9月15日 11:51 57.1° 甲府（山梨県） 9月16日 11:41 57.1° 長野（長野県） 9月13日 11:43 57.3° 岐阜（岐阜県） 9月16日 11:48 57.4° 静岡（静岡県） 9月18日 11:41 57.1° 名古屋（愛知県） 9月17日 11:47 57.3° 都市 日 時刻 南中高度 津（三重県） 9月18日 11:48 57.3° 大津（滋賀県） 9月17日 11:51 57.4° 京都（京都府） 9月17日 11:52 57.4° 大阪（大阪府） 9月18日 11:52 57.3° 神戸（兵庫県） 9月18日 11:54 57.3° 奈良（奈良県） 9月18日 11:51 57.3° 和歌山（和歌山県） 9月19日 11:53 57.4° 鳥取（鳥取県） 9月16日 11:58 57.3° 松江（島根県） 9月16日 12:03 57.3° 岡山（岡山県） 9月18日 11:59 57.4° 広島（広島県） 9月19日 12:04 57.3° 山口（山口県） 9月20日 12:08 57.1° 徳島（徳島県） 9月20日 11:55 57.2° 高松（香川県） 9月19日 11:58 57.3° 松山（愛媛県） 9月20日 12:03 57.4° 高知（高知県） 9月21日 11:59 57.3° 福岡（福岡県） 9月21日 12:12 57.3° 佐賀（佐賀県） 9月22日 12:12 57.2° 長崎（長崎県） 9月23日 12:13 57.3° 熊本（熊本県） 9月23日 12:10 57.3° 大分（大分県） 9月22日 12:06 57.2° 宮崎（宮崎県） 9月25日 12:06 57.4° 鹿児島（鹿児島県） 9月26日 12:09 57.3° 那覇（沖縄県） 10月10日 12:16 57.3°
-
単位の換算
-
空欄に数値入力することで、単位を換算することができます。
$\text{ rad}$ = $\text{°}$
